\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{array}
\usepackage{xfrac}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{units}
\usepackage[per-mode=symbol-or-fraction]{siunitx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{multirow}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{caption}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{color}
\usepackage{float}
\usepackage{longtable}

\sisetup{detect-all=true}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{Beispiel}[section]

\hypersetup{colorlinks=true,linktoc=all,linkcolor=blue,urlcolor=blue}

\title{Formelsammlung für Taucher}
\author{Bernd Nies / \href{http://www.nies.ch/}{www.nies.ch}}

\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
Dieses Dokument beschreibt die für das Tauchen wichtigsten Formeln, samt physikalischer Herleitung. Es richtet sich an Tauchanfänger, sowie erfahrene Taucher, die ihren Wissensstand auffrischen wollen. Dies ersetzt keine zertifizierte Tauchausbildung. Jegliche Haftung von Unfällen aufgrund von Rechenfehlern wird abgelehnt.
\end{abstract}

\tableofcontents
\clearpage





\section{Schweredruck und Auftrieb}
%==================================

In der Hydrostatik\footnote{Lehre von Flüssigkeiten und Gasen in ruhendem Zustand.}  ist der Druck per Definition die senkrechte Kraftwirkung pro Fläche auf ein kleines Flächenelement innerhalb einer Flüssigkeit. Da die Moleküle in einer Flüssigkeit leicht beweglich sind, breitet eine an einer Stelle wirkende Kraft sofort über die gesamte Flüssigkeit aus.

Die SI-Einheit des Druckes $p$ ist Pascal (Pa) und per Definition der Druck, welcher eine Kraft von 1 Newton auf eine Fläche von einem Quadratmeter ausübt.

\begin{align}
\SI{1}{Pa} = \SI{1}{\N\per\square\m} = \SI{1}{\kg\per\m\per\square\s} = \SI{e-5}{\bar}
\end{align}

Die im Sprachgebrauch übliche und gesetztlich festgelegte Einheit Bar unterscheidet sich davon nur um fünf Zehnerpotenzen. Ein Bar entspricht ungefähr dem Luftdruck auf der Erdoberfläche. Die früher gebräuchlichen und verwirrenden Masseinheiten wie physikalische Atmosphäre (atm), technische Atmosphäre (at), Atmosphäre Überdruck (atü) dürfen nicht mehr verwendet werden. Die USA (zusammen mit Liberia und Myanmar) haben es noch nicht geschafft, das metrische System einzuführen, weshalb dort der Druck in psi (pound force per square inch) angegeben wird.



\subsection{Absoluter Druck unter Wasser}
%----------------------------------------

Der absolute Druck $p_h$ auf Tauchtiefe $h$ ist die Summe des atmosphärischen Druckes $p_a$ an der Oberfläche und des Druckes $p_w = g \rho h$ der sich über dem Taucher befindlichen Wassersäule. Mit steigener Tiefe steigt der Druck linear. Zehn Meter Wassersäule entspricht etwa dem Druck unserer Atmosphäre. Die ungefähre Dichte für Meerwasser beträgt \SI{1020}{\kg\per\cubic\m} bis \SI{1030}{\kg\per\cubic\m}, für Süsswasser rund \SI{1000}{\kg\per\m^3}. Der Dichteunterschied des Wassers bei unterschiedlichen Temperaturen bewegt sich im Promillebereich und kann für unsere Berechnungen vernachlässigt werden. 

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{pic/Druck.eps}
\caption{Der auf einen Taucher in der Tiefe $h$ einwirkende Schweredruck $p_h$ setzt sich aus dem Atmosphärendruck $p_a$ und dem Druck $p_w$ der darüber liegenden Wassersäule zusammen. }
\end{figure}

\noindent
Der Umgebungsdruck $p_h$ auf Tauchtiefe $h$ in Abhängigkeit vom Atmosphärendruck $p_a$ und der Dichte $\rho$ des Wassers wird wie folgt berechnet:

\begin{align} 
p_h = p_a + p_w = p_a +  g \rho h 
\label{eq:Schweredruck}
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit          & Bezeichnung  \\
\midrule
p_h  & \Pa              & Umgebungsdruck abhängig von Tauchtiefe $h$ \\
p_a  & \Pa              & Atmosphärendruck  \\
\rho & \kg\per\cubic\m  & Dichte von Wasser \\
g    & \m\per\square\s  & Erdbeschleunigung (\SI{9.80665}{\m\per\square\s}) \\
h    & \m               & Tauchtiefe        \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}



\subsubsection*{Näherung für Kopfrechnung}
%----------------------------------------

Eine gebräuchliche Näherung und Vereinfachung für die Berechnung des Umgebungsdruckes $p_h$ (in Bar) auf Tauchtiefe $h$ (in Metern) vernachlässigt die unterschiedliche Dichten von Salzwasser und Süsswasser,  sowie den Atmosphärendruck, ist aber dennoch für die meisten Anwendungen genügend genau: 

\begin{align}
p_h \approx \SI{1}{\bar} + \frac{h}{\SI[per-mode=fraction]{10}{\m\per\bar}}
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit          & Bezeichnung  \\
\midrule
p_h & \bar & Umgebungsdruck abhängig von Tauchtiefe $h$ \\
h   & \m   & Tauchtiefe        \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\noindent
Auf Meereshöhe im Salzwasser heben sich die beiden Fehler etwa gegenseitig auf. Für Süsswasser und grosse Höhen über Meer ergeben sich Unterschiede. Allerdings gibt es kaum Tauchcomputer, welche die Dichte des Wassers mitberücksichtigen. Stattdessen wird eine Toleranz von 3\,\% der angezeigten Tiefe in Kauf genommen. In Bergseen ist statt des Anfangsdruckes von 1 bar der jeweilige Luftdruck aus Tabelle \ref{tab:Luftdruck} in Bar zu verwenden. 

\begin{example}
Wie hoch ist der Unterschied des absoluten Druckes auf 40 Metern Tiefe im Meer (Dichte Salzwasser $\rho$ = \SI{1030}{\kg\per\cubic\m}) und in einem  \SI{4}{\celsius} kalten Bergsee auf \SI{2000}{\m} Höhe (Luftdruck siehe Tabelle \ref{tab:Luftdruck} auf Seite \pageref{tab:Luftdruck})?

\begin{align*}
p_1  &=  p_a + g \, \rho \, h \\
     &= \SI{101325}{\Pa} 
        + \SI{9.80665}{\m\per\square\s} 
        \times \SI{1030}{\kg\per\cubic\m}
        \times \SI{40}{\m} \\
     &= \SI{505538.98}{\Pa} \times \frac{\SI{1}{bar}}{\SI{100000}{\Pa}} \\
     &\approx \underline{\SI{5.05}{\bar}}
\end{align*}

\begin{align*}
p_2 &= \SI{79498}{\Pa} 
       + \SI{9.80665}{\m\per\square\s}
       \times \SI{1000}{\kg\per\cubic\m}
       \times \SI{40}{\metre} \\
    &\approx \underline{\SI{4.72}{\bar}}
\end{align*}
\end{example}



\subsection{Statischer Auftrieb}
%============================

Die statische Auftriebskraft ist eine in Flüssigkeiten oder Gasen der Schwerkraft entgegengesetzte Kraft. Sie wird durch die Verdrängung des umgebenden Mediums hervorgerufen und sorgt dafür, dass Schiffe schwimmen, Heisslufftballone fliegen oder eben Gegenstände und Taucher unter Wasser leichter oder gar schwerelos erscheinen. 

Die Ursache für die Auftriebskraft liegt darin, dass der hydrostatische Druck von der Höhe des betrachteten Ortes abhängt. An der Unterseite eines Körpers wirkt ein höherer Druck als an der Oberseite und drückt deshalb den Körper nach oben. 

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{pic/Auftrieb1.eps}
\includegraphics{pic/Auftrieb2.eps}

\caption{Links: Der Auftrieb resultiert daraus, dass der hydrostatische Druck $p_2$ auf der Unterseite eines Körpers grösser ist, als der Druck $p_1$ auf der Oberseite, weil er tiefer liegt. Die seitwärts gerichteten Kräfte heben sich gegenseitig auf. Rechts: Graphische Darstellung der daraus auf einen Taucher im Wasser mit der Dichte $\rho$ wirkenden Kräfte für Auftrieb $F_A$ und Gewicht $F_G$, welche sich aus der Masse $m$ und dem Volumen $V$ des Tauchers ergeben.}
\end{figure}

Die statische Auftriebskraft $F_A$ errechnet sich aus Dichte $\rho$ des umgebenden Fluids und das vom Körper verdrängte Volumen $V$, wobei $\rho V$ der Masse des verdrängten Fluids entspricht und $g \rho V$ dessen Gewichtskraft.

\begin{align}
F_A = g \rho V
\end{align}
 
Umgangsprachlich vernimmt man oft Begriffe wie positiver, neutraler oder negativer Auftrieb oder auch Abtrieb. Die Auftriebskraft ist aber stets positiv. Was hier noch dazu kommt, ist die Gewichtskraft $F_G$ (auch Schwerkraft genannt), welche den Körper nach unten in Richtung Erdmittelpunkt zieht.

\begin{align}
F_G = g m 
\end{align}

Da die Gewichtskraft $F_G$ der Auftriebskraft $F_A$ entgegen wirkt, muss sie subtrahiert werden. 

\begin{align}
F = F_A - F_G = g ( \rho V - m )
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
F_A  & \N              & Auftriebskraft \\
F_G  & \N              & Gewichtskraft \\
g    & \m\per\square\s & Erdbeschleunigung (\SI{9.80665}{\m\per\square\s}) \\
\rho & \kg\per\cubic\m & Dichte des umgebenden Mediums \\
m    & \kg             & Masse des Körpers \\
V    & \square\m       & Volumen des Körpers \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Jetzt wird ersichtlich, dass wenn die Masse des durch den Körper verdrängten Fluids gleich gross ist, wie die Masse des Körpers selbst, sich die beiden Kräfte $F_A$ und $F_G$ auslöschen, d.\,h. der Körper einen neutralen Auftrieb besitzt, bzw. schwerelos ist. Dieses Ges Gesetz wurde schon vor über 2200 Jahren vom griechischen Gelehrten Archimedes von Syrakus entdeckt und nach ihm benannt.

Für einen Taucher ist der statische Auftrieb besonders für die Tarierung interessant und hieraus ergeben sich folgende praktische Erkenntnisse:

\begin{itemize}
\item Sinkt ein Taucher, so ist er schwerer als das von ihm verdrängte Wasser. Er muss sein Volumen vergrössern, um wieder eine neutrale Tarierung zu erlangen. Hierfür wird die notwendige Menge Luft in die Tarierweste geblasen, welche sich dadurch aufbläht und das Volumen vergrössert.

\item Steigt ein Taucher, so ist er leichter als das von ihm verdrängte Wasser. Er muss sein Volumen verringern, um wieder eine neutrale Tarierung zu erlangen. Hierzu muss Luft aus der Tarierweste und ggf. dem Trockentauchanzug abgelassen werden.

\item Ein- und ausatmen verändert schon das Volumen des Tauchers und sorgt kurzzeitig für geringe Tarierungsänderung.

\item In einem Fluid mit höherer Dichte (Salzwasser gegenüber Süsswasser) benötit ein Taucher mehr Masse, um eine neutrale Tarierung zu erlangen.
\end{itemize}




\clearpage
\section{Gasgesetze}
%===================

Bei Gasen sind Druck $p$, Volumen $V$ und Temperatur $T$ direkt voneinander abhängig. Diese Gesetze wurden von unterschiedlichen Personen bei experimentellen Untersuchungen unabhängig voneinander entdeckt:



\subsection{Gesetz von Boyle-Mariotte}
%-------------------------------------

Bei konstanter Temperatur (isotherme Zustandsänderung) und konstanter Stoffmenge ist der Druck umgekehrt proportional zum Volumen. 

\begin{align}
\label{eq:Boyle-Mariotte}
p \sim \frac{1}{V} \hspace{20mm}  p V = konstant \hspace{20mm}  \frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}
\end{align}

\noindent
Verdoppelt sich also der Druck, so reduziert sich das Volumen auf die Hälfte. Ist der Druck dreimal so hoch, so ist as Volumen nur noch ein Drittel. Ein paar Beispiele aus der Taucherpraxis:

\begin{itemize}
\item Steigt der Druck bei konstanter Temperatur, so verringert sich das Volumen. Die Luftbläschen im Neopren-Anzug werden zusammen gequetscht und der Anzug verliert an Auftrieb. Deshalb muss das Jacket beim Abtauchen mit Luft gefüllt werden, um den Taucher schwerelos zu tarieren.

\item Sinkt der Druck bei konstanter Temperatur, so vergrössert sich das Volumen. Auch dies sollte Tauchern bekannt sein, dass sich beim Auftauchen die Luft im Jacket und Trockenanzug ausdehnt. Dies gilt ebenfalls für die Luft in der Lunge (darum beim Auftauchen nie den Atem anhalten), Gase in den Eingeweiden (wer furzt überlebt) und am allerwichtigsten der in den Körperflüssigkeiten und Geweben gelöste während dem Tauchen angereicherte Stickstoff.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{pic/Apnea-Diver.eps}
\caption{Bei einem Apnoe-Taucher schrumpft die Lunge mit zunehmender Tiefe. Gefährlich wirds, wenn der Apnoe-Taucher in der Tiefe einem Scuba-Taucher begegnet, einen Atemzug aus der Flasche nimmt und beim Auftauchen wie gewohnt die Luft anhält. Dann platzt die Lunge.}
\end{figure}



\subsection{Gesetz von Gay-Lussac} 
%---------------------------------

Bei konstantem Druck (isobare Zustandsänderung) und gleichbleibender Stoffmenge ist das Volumen direkt proportional zur Temperatur. Dies wird auch oft das Gesetz von Charles genannt.

\begin{align}
V \sim T \hspace{20mm} \frac{V}{T} = konstant \hspace{20mm} \frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}
\end{align}

\noindent
Erhöht sich die Temperatur, so dehnt sich das Gas gleichermassen aus und das Volumen vergrössert sich. Wird die Temperatur verringert, so zieht sich das Gas zusammen. Die Temperatur bezieht sich dabei auf den absoluten Nullpunkt von \SI{-273.15}{\celsius} und wird in Kelvin gemessen. 

Ein Beispiel, nicht direkt aus der Taucherpraxis: Wer an einem heissen Sommertag das Planschbecken seiner Kinder mit Druckluft aus der Tauchflasche füllen will, soll es anfangs nicht zu prall füllen. Das ausströmende Gas ist kalt und wenn es sich in der Sonne erwärmt, dehnt es sich aus und füllt dann die Luftkammern des Planschbeckens prallvoll.



\subsection{Gesetz von Amontons} 
%-------------------------------

Bei konstantem Volumen (isochore Zustandsänderung) und gleichbleibender Stoffmenge ist der Druck direkt proportional zur Temperatur. Dies wird auch oft als das zweite Gesetz von Gay-Lussac bezeichnet.

\begin{align}
p \sim T \hspace{20mm} \frac{p}{T} = konstant \hspace{20mm} \frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}
\end{align}

\noindent
Wird ein Gas in einem Behälter erwärmt, so erhöht sich der Druck. Wird ein Gas gekühlt, so sinkt der Druck. Es gilt ausserdem: Wird ein Gas komprimiert, so erwärmt es sicht. Wird es dekomprimiert, so kühlt es sich ab. Ein paar Beispiele aus der Taucherpraxis:

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{pic/Flasche-fuellen-abkuehlen.eps}
\caption{Eine Tauchflasche wird schnell auf \SI{210}{\bar} gefüllt und wird \SI{40}{\celsius} warm. Danach kühlt sie auf \SI{20}{\celsius} ab und es der Druck sinkt auf \SI{197}{\bar}. Im \SI{6}{\celsius} kalten Wasser ist bei Tauchbeginn der Druck nur noch \SI{187}{\bar}.}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item Beim Füllen einer Flasche am Kompressor wird die Flasche spürbar warm. Die entstehende Wärme stammt von der Arbeit des Kompressors. Wenn sich die Flasche dann einmal abgekühlt hat, ist der Druck leicht gesunken. Wer die Kapazität seiner Flasche optimal nutzen will, der füllt sie das erste mal unmittelbar nach dem Tauchgang, lagert die Flasche an einem kühlen Ort und füllt vor dem nächsten Tauchgang noch den Rest nach. 

\item Wer mit einer noch warmen Flasche direkt ins kalte Wasser springt, der wird feststellen, dass von den beim Check gemessenen \SI{210}{\bar} auf einmal nur noch etwa \SI{187}{\bar} übrig sind. Die Druckänderung stammt von der Abkühlung des Gases. Das muss bei der Luftvorratberechnung für die Tauchgangsplanung berücksichtigt werden.
\end{itemize}


\begin{example}
Eine gefüllte Flasche ($p_1 = \SI{210}{\bar}$) wird im Winter aus dem geheizten Auto ($T_1 = \SI{20}{\celsius}$) ins kalte Wasser ($T_2 = \SI{4}{\celsius}$) genommen. Wieviel Luft ($p_2$) ist noch in der Flasche? 

\begin{align*}
p_2  &=  p_1 \, \frac{T_2}{T_1} \\
     &=  \SI{210}{\bar} \times \frac{\SI{277.15}{\K}}{\SI{299.15}{\K}} \\
     &\approx \SI{195}{\bar} \\
\end{align*}

\noindent
Von den anfänglich 210 Bar sind nur noch 195 Bar übrig. Dies ist bei der Berechnung des Luftverbrauchs für die Tauchgangplanung zu berücksichtigen.
\end{example}

\begin{example}
Eine bei Raumtemperatur gefüllte Flasche ($p_1$ = \SI{210}{\bar}, $T_1$ = \SI{20}{\celsius}) wird im Hochsommer ins Auto gelegt. Das Auto steht in der prallen Sonne und heizt sich auf $T_2$ = \SI{70}{\celsius} auf. Besteht die Gefahr, dass die Flasche explodieren kann? 

\begin{align*}
p_2 &= p_1 \frac{T_2}{T_1} \\
    &= \SI{210}{\bar} \times \frac{\SI{349.15}{\K}}{\SI{299.15}{\K}} \\
    &\approx \SI{245}{\bar} \\
\end{align*}

\noindent
Tauchflaschen werden in der Regel bis zum doppelten Druck geprüft.
\end{example}





\subsection{Gesetz der Homogenität}
%----------------------------------

Ein ideales Gas besitzt überall dieselbe Dichte und das Volumen ist bei konstantem Druck und konstanter Temperatur proportional zur Stoffmenge $n$.

\begin{align}
V \sim n \hspace{20mm} \frac{V}{n} = konstant \hspace{20mm}  \frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1}{n_2}
\end{align}


\noindent
Ein Beispiel aus der Taucherpraxis: Bei Gasgemischen (Luft, Nitrox, Trimix) sind die einzelnen Gase überall in der Flasche gleichförmig verteilt. Der Sauerstoff sinkt nicht mit der Zeit auf den Flaschenboden, weil er schwerer als Stickstoff ist. Die Tauchflasche muss also nicht vor Gebrauch geschüttelt werden. Dennoch ist es empfehlenswert, nachdem Mischgas mit der Partialdruckmethode erstellt wurde, die Flasche einige Stunden ruhen zu lassen, bis sich die Gase gut durchmischt haben.



\subsection{Gesetz von Avogadro} 
%-------------------------------

Die Stoffmenge ist bei unterschiedlichen Gasen mit bei gleichem Volumen, gleichem Druck und gleicher Temperatur ebenfalls dieselbe. Woraus sich $R$, die universelle Gaskonstante ergibt.

\begin{align}
\frac{p_1 V_1}{T_1 n_1} =  \frac{p_2 V_2}{T_2 n_2} = konstant = R
\end{align}

\noindent
Ein Beispiel aus der Taucherpraxis: In zwei Flaschen gleicher Grösse und gleichem Druck und bei gleicher Temperatur befinden sich dieselbe Anzahl Gasmoleküle, unabhängig davon, um welches Gas es sich dabei handelt. Dies ist wichtig für die Berechnung des Verhältnisses beim Mischen von Gasen. 



\subsection{Thermische Zustandsgleichung}
%----------------------------------------


Die zuvor aufgeführten einzelnen Gasgesetze werden in thermischen Zustandsgleichung idealer Gase vereint:

\begin{align} \label{eq:pVT}
p V = n R T
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
p & \Pa              & Druck \\
V & \cubic\m         & Volumen  \\
n & \mol             & Stoffmenge \\
R & \J\per\mol\per\K & universelle Gaskonstante (\SI{8.3144621}{\J\per\mol\per\K}) \\
T & \K               & Temperatur (0 °C = 273.15 K)  \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Wie der Name schon vermuten lässt, gilt diese Gleichung nur für ``ideale Gase'', bei denen die Moleküle als ausdehnungslose Massepunkte angenommen werden, welche ausser elastischen Stössen keinerlei Wechselwirkung miteinander eingehen. Ein Gas mit niedriger Dichte bzw. Druck und bei nicht zu niedrigen Temperatur verhält sich beinahe wie ein ideales Gas. Je höher die Temperatur ist, desto mehr nähert es sich ein reales Gas diesem Grenzwert an.





\subsection{Gesetze realer Gase (van der Waals)}
%-----------------------------------------------

In der Realität bestehen Gase aus Atomen oder Molekülen mit einer definierten Ausdehnung, sind also nicht beliebig kompressiebel. Die einzelnen Atome oder Moleküle üben gegenseitig weitere Kräfte aufeinander aus. Bei niedrigen Temperaturen verflüssigen sich Gase (z.\,B. Stickstoff bei \SI{-196}{\celsius}) andere verflüssigen oder verfestigen sich unter hohem Druck (z.\,B. Kohlendioxid bei \SI{57.3}{\bar} und \SI{20}{\celsius}). Gase, welche aus komplexeren Molekülen bestehen, verflüssigen sich bereits bei geringem Druck (z.\,B. n-Butan bei 2 bar).

Um diese Zustände zu beschreiben, sind komplexere Berechnungen für jedes einzelne Gas notwendig. Die van der Waals Gleichung ist eine empirisch ermittelte Erweiterung des idealen Gasgesetztes, welche man wieder erhält, wenn $a$ und $b$ auf null gesetzt werden. Sie ist während der Verdampfungs und Verflüssigungsphase von Gasen aber auch ungenau.

\begin{align}
p(V) = \frac{n R T}{V - n b} - a \Big( \frac{n}{V} \Big)^2
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
p(V) & \Pa                         & Druck in Abhängigkeit vom Volumen $V$ \\
n    & \mol                        & Stoffmenge \\
R    & \J\per\mol\per\K            & universelle Gaskonstante (\SI{8.3144621}{\J\per\mol\per\K}) \\
T    & \K                          & Temperatur \\
V    & \cubic\m                    & Volumen  \\
a    & \Pa\m\tothe6\per\square\mol & Kohäsionsdruck des Gases \\
b    & \cubic\m\per\mol            & Kovolumen des Gases \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Die für Taucher relevanten Gase (Stickstoff N$_2$, Sauerstoff O$_2$) verhalten sich bei denen unter Wasser herrschenden Drücken und Temperaturen genügend linear, weshalb die thermische Zustandsgleichung idealer Gase für diesen Verwendungszweck genügend genau ist. 

Bei den hohen Drücken, welche in Tauchflaschen auftreten, ergeben sich für die verschiedenen Gase jedoch bereits signifikante Unterschiede. Siehe pV-Diagramm in Abbildung \ref{fig:pv-diagramm} auf Seite \pageref{fig:pv-diagramm}. Da normale Atemluft ein Gasgemisch von 78\,\% N$_2$ und 21\,\% O$_2$ ist und sich gemäss Gesetz von Dalton sich dieses bei \SI{200}{\bar} aus den Partialdrücken \SI{156}{\bar} N$_2$ und \SI{42}{\bar} O$_2$ (\SI{2}{\bar} Spurengase) zusammensetzt, bewegen sich die einzelnen Gase innerhalb ihrer Partialdrücke wieder im linearen Bereich. Somit ist die Taucherwelt wieder in Ordnung, schön brav linear und einfach berechenbar, weshalb in der Tauchpraxis nur die einfachen Gesetze für ideale Gase Anwendung finden. Die Abweichungen liegen innerhalb der Messtoleranzen von Finimetern.

\begin{figure}[hbt]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/pv-diagramm-luft.pdf}
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/pv-diagramm-trimix-10-70.pdf}

\caption{pV-Diagramm mit Isothermen der in normaler Atemluft (oben) enthaltenen realen Gase, sowie eines Trimix 10/70 Gemisches (unten) berechnet nach van der Waals. Im Vergleich zur Kurve eines idealen Gases (rote Linie). Die einzelnen Kurven der Partialdrücke sind aufaddiert. Temperatur von 293.15 K (20 °C) und Stoffmenge 8200 mol. Man erkennt gut, dass bei der Trimix-Mischung die Unterschiede der Berechnungsmethode bereits stärker ins Gewicht fallen.}
\label{fig:pv-diagramm}
\end{figure}



\clearpage
\subsection{Joule-Thomson-Effekt}
%--------------------------------

Der Joule-Thomson-Effekt tritt auf, wenn ein strömendes reales Gas durch Drosselung (z.\,B. durch eine Blende oder ein anderes Hindernis) eine Expansion und dadurch eine Temperaturveränderung erfährt. Die Ursache liegt in der Wechselwirkung der Gasteilchen:

\begin{itemize}
\item Ziehen sich die Teilchen an, so muss bei der Vergrösserung des Teilchenabstandes Arbeit gegen diese Anziehung geleistet werden. Die Energie dazu kommt aus der kinetischen Energie der Gasteilchen -- das Gas kühlt ab. 

\item Stossen sich die Teilchen ab, so ist im gepressten Zustand mehr Energie vorhanden. Wenn die Teilchen sich voneinander weg bewegen können, wird diese Energie frei. Der kinetische Anteil vergrössert sich also -- die Temperatur des Gases steigt.
\end{itemize}

Ob sich die Teilchen eines Gases anziehen oder abstossen, hängt von der Temperatur des Gases ab. Für reale Gase ändert sich dieses Verhalten bei der Inversionstemperatur. Diese beträgt für Luft 659 K. Oberhalb dieser Temperatur führt der Joule-Thomson-Effekt zu Erwärmung; unterhalb tritt Abkühlung auf. 

Ein Beispiel aus der Taucherpraxis: In der ersten Stufe eines Lungenautomaten, wo die Luft von Flaschendruck auf etwa \SI{10}{\bar} über den Umgebungsdruck gemindert wird, sowie in der zweiten Stufe, bei der eine weitere Reduzierung auf den Umgebungsdruck stattfindet, kühlt das Gas bei Expansion ab. Bei hohem Luftverbrauch und Feuchtigkeit in der Luft kann es deshalb in sehr kaltem Wasser zur Vereisung führen und der Automat bläst ab.


\subsection{Partialdruckgesetz}
%------------------------------

Der Partialdruck eines Gasgemisches ist der Druck, der der einzelnen Komponente zugeteilt ist. Er entspricht dem Druck, welcher die einzelne Komponente bei alleinigem Vorhandensein im betreffenden Volumen ausüben würde. Das Daltonsche Gesetz besagt, dass die Summe aller Partialdrücke $p_i$ gleich dem Gesamtdruck $p_tot$ des Gemisches ist.

\begin{align}
p_{tot} = \sum_{i=1}^k p_i
\end{align}

\noindent
Das $\Sigma$ bedeutet, dass die einzelnen Partialdrücke $p_i$ aufaddiert werden müssen. Für Luft folgert daraus, dass der Druck von Luft gleich der Summe der Drücke von Stickstoff $p_{N_2}$, Sauerstoff $p_{O_2}$, Argon $p_{Ar}$, Kohlendioxid $p_{CO_2}$ und anderer Spurengase $p_x$ ist:

\begin{align}
p_a = p_{N_2} + p_{O_2} + p_{Ar} + p_{CO_2} + p_x
\end{align}

\noindent
Da die Anteile von Argon, Kohlendioxid und anderer Spurengase zusammen weniger als 1\,\% Volumenanteil der Atemluft ausmachen, werden sie für die Berechnung von Tauchgängen vernachlässigt. Die Zusammensetzung von Luft vereinfacht sich dazu auf den gerundeten Anteil von Stickstoff $f_{N_2} = 0.79 $ und den von Sauerstoff $f_{O_2} = 0.21$:

\begin{align}
p_a = p_{N_2} + p_{O_2} 
    = p_a ( f_{N_2} + f_{O_2} ) 
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
p_a      & \Pa  & Atmosphärendruck  \\
p_{N_2}  & \Pa  & Partialdruck Stickstoff \\
p_{O_2}  & \Pa  & Partialdruck Sauerstoff \\
f_{N_2}  &      & Anteil Stickstoff \\
f_{O_2}  &      & Anteil Sauerstoff \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\noindent
Die Anteil der einzelnen Gase und Partialdrücke in der Erdatmosphäre sind in Tabelle \ref{tab:Partialdrücke} auf Seite \pageref{tab:Partialdrücke} wiedergegeben. Bei anderen Atemgasgemischen (Nitrox, Trimix, Heliox, Hydrox, Hydreliox) muss die Gleichung um die jeweiligen Gasanteile entsprechend erweitert werden.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{pic/gas-mischen.eps}
\caption{Die Summe der Partialdrücke der verschiedenen Gase eines Gasgemisches entsprechen dem Gesamtdruck des Gasgemisches. Der Druck jeder einzelne Komponente bei alleinigem Vorhandensein im Volumen entspricht dem Partialdruck. Gemäss dem Gesetz der Homogenität, sind die einzelnen Gaskomponenten auch gleichmässig verteilt.}
\end{figure}



\subsection{Nitrox mischen}
%--------------------------

Dieser Abschnitt beschreibt das Mischen von Nitrox nach der Partialdruckmethode. Eine Flasche wird mit reinem Sauerstoff bis auf den Druck $p_{O_2}$ vorgefüllt und dann mit Luft $p_1$ (bzw. ein anderes Nitrox-Gemisch mit Sauerstoffanteil $f_1$) aufgefüllt (getoppt), um den Nitrox-Zieldruck $p_2$ mit Sauerstoffanteil $f_2$ zu erreichen.

\begin{align}
p_2 = p_{O_2} + p_1 \label{eq:nitrox1}
\end{align}

\noindent
Setzt man die Partialdrücke des Topping-Gases ($f_1 \; p_1 + p_{N_2}$) und des Zielgemisches ($f_2 \; p_2 + p_{N_2}$) in die Gleichung ein, so ergibt sich:

\begin{align}
f_2 \; p_2 + p_{N_2} = p_{O_2} + f_1 \; p_1 + p_{N_2}
\end{align}

\noindent
Der Partialdruck von Stickstoff bleibt unverändert und kann beidseits aus der Gleichung subtrahiert werden. Unbekannte Grössen sind $p_{O_2}$ und $p_1$. Die Menge an Topping-Gas $p_1$ ergibt sich gemäss Gleichung \eqref{eq:nitrox1} aus der Differenz vom Zieldruck und der Menge reinen Sauerstoffs ($p_2 - p_{O_2}$). Damit lässt sich die Gleichung wie folgt umformen und auflösen:

\begin{align*}
f_2 \; p_2               &=  p_{O_2} + f_1 \; ( p_2 - p_{O_2} ) \\
f_2 \; p_2               &=  p_{O_2} + f_1 \; p_2 - f_1 \; p_{O_2} \\
f_2 \; p_2 - f_1 \; p_2  &=  p_{O_2} - f_1 \; p_{O_2} \\
p_2 ( f_2 - f_1 )        &=  p_{O_2} ( 1 - f_1 ) \\
\frac{p_2 ( f_2 - f_1 )}{1 - f_1} &= p_{O_2} 
\end{align*}

\noindent
Somit lautet die Formel zur Berechung eines Nitroxgemisches nach der Partialdruckmethode wie folgt:

\begin{align}
p_{O_2} = p_2 \; \frac{f_2 - f_1}{1 - f_1}
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
p_{O_2}  & \bar & benötigte Menge reiner Sauerstoff \\
p_2      & \bar & gewünschter Zieldruck (z.\,B. \SI{200}{\bar} \\
f_2      &      & Sauerstoffanteil des Zielgemisches \\
f_1      &      & Sauerstoffanteil des Topping-Gases (z.\,B. 0.21) \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}


\begin{example}
Wieviel reiner Sauerstoff wird benötigt, um zusammen mit Luft 200 bar Nitrox EAN32 herzustellen?

\begin{align*}
p_{O_2} &= p_2 \; \frac{f_2 - f_1}{1 - f_1} \\
        &= \SI{200}{\bar} \times \frac{0.32 - 0.21}{1-0.21} \\
        &\approx \SI{27.8}{\bar}
\end{align*}

\noindent
Also eine leere Flasche erst langsam mit \SI{27.8}{\bar} reinem Sauerstoff füllen und dann mit normaler Luft langsam bis \SI{200}{\bar} auffüllen.
\end{example}




\clearpage
\section{Luftverbrauch}
%======================

Das Lungenvolumen eines Menschen beträgt im Schnitt drei bis vier Liter. Weltrekordler im Apnoetauchen können sogar ein Lugenvolumen bis zehn Liter erreichen. Ein Mensch atmet im Ruhezustand etwa 12 bis 18 mal pro Minute und pro Atemzug etwa einen halben Liter Luft, ungefähr sechs bis neun Liter pro Minute. Bei leichten körperlichen Tätigkeiten (z.\,B. gehen) steigt der Luftverbrauch auf etwa 25 Liter pro Minute. Bei sehr starker körperlicher Anstrengung kann der Luftverbrauch auf etwa 80 Liter pro Minute ansteigen.



\subsection{Luftverbrauch an der Oberfläche}

Die verbrauchte Luftmenge $\Delta V$ ergibt sich, wenn die Atemleistung $Q_a$ mit dem zu betrachtenden Zeitintervall $t$ multipliziert wird.

\begin{align} \label{eq:DV}
\Delta V = Q_a t
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
\Delta V & \cubic\m        & Verbrauchte Luftmenge bei Normaldruck \\
Q_a      & \cubic\m\per\s  & Atemleistung an der Oberfläche  \\
t        & \s              & Zeitintervall \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}


\begin{example}
Wieviel Luft verbraucht ein Mensch während acht Stunden Schlaf (Atemleistung \SI{9}{\litre\per\minute})?

\begin{align*}
\Delta V &= Q_a t \\
         &= \SI{9}{\litre\per\minute} 
            \times \SI{8}{\hour} 
            \times \SI{60}{\minute\per\hour} \\
         &= \SI{4320}{\litre} \\
         &= \SI{4.32}{\cubic\metre}
\end{align*}
\end{example}





\subsection{Luftverbrauch bei erhöhtem Druck}
%--------------------------------------------

Unter erhöhtem Umgebungsdruck ist die Atemleistung $Q_p$ auf Tauchtiefe $h$ direkt proportional zum Druck, da komprimierte Luft geatmet wird. Doppelter Umgebungsdruck resultiert in doppelter Atemleistung, bzw. Luftverbrauch. Die Atemleistung $Q_a$ an der Oberfläche wird mit dem Druckverhältnis von Umgebungsdruck $p_h$ auf Tauchtiefe $h$ zu Atmosphärendruck $p_a$ multipliziert:

\begin{align}
Q_p = Q_a \frac{p_h}{p_a} 
    = Q_a \Bigg( 1 + \frac{g \rho h}{p_a} \Bigg)
\end{align}

\noindent
Die tatsächlich unter Wasser verbrauchte Luftmenge umgerechnet auf Normaldruck erhält man, wenn die erhöhte Atemleistung mit dem Zeitintervall $t$ multipliziert wird. 

\begin{align} \label{eq:DVp1}
\Delta V_p \; = \; Q_p \; t
           \; = \; Q_a \; \frac{p_h}{p_a} \; t
           \; = \; Q_a \; t \; \Bigg( 1 + \frac{g \rho h}{p_a} \Bigg)
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
\Delta V_p & \cubic\m        & Verbrauchte Luftmenge auf Tauchtiefe $h$ über Zeitintervall $t$ \\
Q_a         & \cubic\m\per\s  & Atemleistung an der Oberfläche  \\
Q_p         & \cubic\m\per\s  & Atemleistung unter erhöhtem Druck \\
t           & \s              & Zeitintervall \\
p_a         & \Pa             & Atmosphärendruck  \\
p_h         & \Pa             & Absoluter Umgebungsdruck auf Tauchtiefe $h$ \\
\rho        & \kg\per\cubic\m & Dichte von Wasser \\
g           & \m\per\square\s & Erdbeschleunigung (\SI{9.80665}{\m\per\square\s}) \\
h           & \m              & Tauchtiefe        \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}



\subsubsection*{Näherung für Kopfrechnung}
%----------------------------------------

Häufig findet man in der Tauchliteratur nur die Näherung der Formel \eqref{eq:DVp1}, welche statt des Druckverhältnisses den absoluten Druck in Bar verwendet. Da der Druck an der Oberfläche auf Meereshöhe \SI{1}{\bar} beträgt, stimmt dies zufällig und für die meisten Anwendungen ist die Näherung genügend genau. Da pro \SI{10}{\metre} Wassertiefe der Druck um ungefähr \SI{1}{\bar} steigt, ist die Verwendung des absoluten Umgebungsdruckes anstatt der Tiefe viel einfacher für Kopfrechnung.

Es werden keine SI-Einheiten, sondern abgeleitete praktischere Einheiten verwendet:. Die Atemleistung wird mit Litern pro Minute, das Zeitintervall in Minuten und der Druck mit Bar angegeben. Das Ergebnis ist eine etwas unsinnige Einheit ``Bar Liter'', welche den Verbrauch komprimierter Luft symbolisieren soll.

\begin{align} \label{eq:DVp2}
\Delta V_p \: \approx \: Q_a \; t \; p_h
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
\Delta V_p & \bar\litre         & Verbrauchte Luftmenge auf Tauchtiefe $h$ über Zeitintervall $t$ \\
Q_a        & \litre\per\minute  & Atemleistung an der Oberfläche  \\
t          & \minute            & Zeitintervall \\
p_h        & \bar               & Absoluter Umgebungsdruck auf Tauchtiefe $h$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}



\subsection{Luftverbrauch bei Auf- und Abstieg}
%----------------------------------------------

Der Luftverbrauch beim auf- oder abtauchen mit konstanter Geschwindigkeit errechnet sich aus dem mittleren Druck $\bar{p}$ zwischen den beiden Tauchtiefen $h_1$ und $h_2$:

\begin{align}
\bar{p} \: = \: \frac{p_1 + p_2}{2} 
        \: = \: p_a + \frac{g \rho (h_1 + h_2)}{2}
\end{align}

\noindent
Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:DVp1} errechnet sich der Luftverbrauch wie folgt:

\begin{align} \label{eq:DVp3}
\Delta V_p \; = \; Q_a \; t \; \frac{\bar{p}}{p_a}
           \; = \; Q_a \; t \; \Bigg( 1 + \frac{g \rho (h_1 + h_2)}{2 p_a} \Bigg)
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
\Delta V_p & \cubic\m        & Verbrauchte Luftmenge auf Tauchtiefe $h$ über Zeitintervall $t$ \\
Q_a         & \cubic\m\per\s  & Atemleistung an der Oberfläche  \\
t           & \s              & Zeitintervall \\
p_a         & \Pa             & Atmosphärendruck  \\
\bar{p}     & \Pa             & Mittlerer Druck \\
\rho        & \kg\per\cubic\m & Dichte von Wasser \\
g           & \m\per\square\s & Erdbeschleunigung (\SI{9.80665}{\m\per\square\s}) \\
h_1         & \m              & Starttiefe        \\
h_2         & \m              & Zieltiefe        \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}



\subsubsection*{Näherung für Kopfrechnung}
%----------------------------------------

Die Gleichung \eqref{eq:DVp3} kann mit einer Näherung für Kopfrechnung vereinfacht werden, wenn die Unterschiedlichen Dichten von Meerwasser wie auch Süsswasser, sowie der Atmosphärendruck vernachlässigt werden. 

Es werden keine reinen SI-Einheiten, sondern abgeleitete praktischere Einheiten verwendet:. Die Atemleistung wird mit Litern pro Minute, das Zeitintervall in Minuten und der Druck mit Bar angegeben. 


\begin{align} \label{eq:DVp2}
\Delta V_p \; \approx \; Q_a \; t \; \frac{p_1 + p_2}{2}
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
\Delta V_p & \bar\litre         & Verbrauchte Luftmenge auf Tauchtiefe $h$ über Zeitintervall $t$ \\
Q_a        & \litre\per\minute  & Atemleistung an der Oberfläche  \\
t          & \minute            & Zeitintervall \\
p_1        & \bar               & absoluter Umgebungsdruck am Anfang \\
p_2        & \bar               & absoluter Umgebungsdruck am Ende \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}



\begin{example}
Wieviel Luft wird für den Aufstieg von 40 Metern zur Oberfläche benötigt, inklusive 3 Minuten Sicherheitsstop in 5 Metern Tiefe? Aufstiegsgeschwindigkeit \SI{10}{\metre\per\second}, Atemleistung \SI{20}{\litre\per\minute}.

Aufstieg von 40 Metern auf 5 Metern in 3.5 Minuten:

\begin{align*}
\Delta V_{p1} \: &= \: Qa \; t \; \frac{p_1 + p_2}{2} \\
                 &= \: \SI{20}{\litre\per\minute} \times \SI{3.5}{\minute} 
                      \times \frac{\SI{5}{\bar} + \SI{1.5}{\bar}}{2} \\
                 &= \SI{227.5}{\bar\litre} 
\end{align*}

\noindent
Luftverbrauch bei 3 Minuten Sicherheitsstop auf 5 Metern:

\begin{align*}
\Delta V_{p2} \: &= \: Qa \; t \; p_2 \\
                 &= \: \SI{20}{\litre\per\minute} \times \SI{3}{\minute}
                      \times \SI{1.5}{\bar} \\
                 &= \: \SI{90}{\bar\litre} 
\end{align*}

\noindent
Luftverbrauch für den restlichen Aufstieg ab Sicherheitsstop bis zur Oberfläche, Aufstiegszeit 30 Sekunden:

\begin{align*}
\Delta V_{p3}    &= \: Qa \; t \; \frac{p_1 + p_2}{2} \\
                 &= \: \SI{20}{\litre\per\minute} \times \SI{0.5}{\minute}
                      \times \frac{\SI{1.5}{\bar} + \SI{1}{\bar}}{2} \\
                 &= \: \SI{12.5}{\bar\litre} 
\end{align*}

\noindent
Für den gesamten Aufstieg wird also folgende Luftmenge benötigt:

\begin{align*}
\Delta V_{p} \: &= \: \Delta V_{p1} + \Delta V_{p2} + \Delta V_{p3} \\
                &= \: \SI{227.5}{\bar\litre} + \SI{90}{\bar\litre} + \SI{12.5}{\bar\litre} \\
                &= \: \SI{330}{\bar\litre} 
\end{align*}

\noindent
Es wird für den gesamten Aufstieg also 330 Liter Luft benötigt. In einer 12 Liter Flasche entspricht dies einer Druckminderung um 

\begin{align*}
\frac{\SI{330}{\bar\litre}}{\SI{12}{\litre}} = \SI{27.5}{\bar}
\end{align*}

\noindent
Wie sieht das nun aber aus, wenn dem Tauchbuddy auf 40 Metern die Flasche abbläst und beide aus derselben Flasche atmen und durch den Vorfall so nervös sind, dass sie die doppelte Luftmenge verbrauchen? Der Luftverbrauch vervierfacht sich und die verbrauchte Luft steigt auf 1320 Liter an, was bei einer 12 Liter Flasche einer Druckminderung um 110 Bar entspricht. Wenn beim Vorfall nur noch 100 Bar in der Flasche waren, dann reicht der Luftvorrat nicht. Es muss entweder etwas schneller aufgestiegen werden oder der Sicherheitsstop ausgelassen werden oder besser sich beruhigen und die Atemfrequenz verringern. Die beste Vorsorge ist genügend Luftreserve für sich und seinen Tauchbuddy einzuplanen.

\end{example}





\clearpage
\section{Wirkung der Atemgase auf den Menschen}
%==============================================

Der menschliche Organismus hat sich über viele Generationen der Zusammensetzung der Erdatmosphäre und dem in der gewohnten Umgebung herrschenden Drücke angepasst. Wird von diesen abgewichen, kann zu Komplikationen kommen:

\begin{itemize}
\item In grossen Höhen ist der Atmosphärendruck und somit auch Sauerstoffpartialdruck niedriger, was zur Höhenkrankheit führen kann. Aus diesem Grunde müssen sich Bergsteiger erst anklimatisieren.

\item Einatmung von Luft unter erhöhtem Umgebungsdruck führt zu einer Sättigung der Körperflüssigkeiten und des Gewebes mit Stickstoff. Wird der Umgebungsdruck zu schnell vermindert, so perlt der gelöste Stickstoff aus. Die entstehenden Gasblasen können im Gewebe zu mechanischen Schäden oder in den Blutgefässen zu einer Gasembolie führen und die lokale Blutzufuhr unterbrechen (Dekompressionskrankheit). Darum darf ein Taucher keinesfalls zu schnell an die Oberfläche steigen und muss Dekompressionsstops einhalten -- es sei denn, er hat nur die allerletzt Wahl zwischen dem eigenen Tod oder einer Dekompressionskrankheit.

\item Ist der Stickstoffpartialdruck zu gross, so kann dieser narkotisch wirken (Tiefenrausch). Erste Anzeichen einer Stickstoffnarkose können schon bei einem Stickstoffpartialdruck von 3-4 bar auftreten, doch jeder Mensch reagiert unterschiedlich darauf. Allgemein gilt, dass 5 bar nicht überschritten werden soll.
\end{itemize}

\noindent
Um die oben genannten Nebeneffekte zu reduzieren werden für das Tauchen je nach Anwendung und Tiefe unterschiedliche Gasmischungen verwendet. Das am häufigsten verwendete is Nitrox, welches mit Sauerstoff angereicherte Luft ist, um durch den geringeren Anteil von Stickstoff die Stickstoffsättigung und somit das Risiko einer Dekompressionskrankheit zu verringern. Der erhöhte Sauerstoffanteil führt jedoch zu erneuten Problemen, denn Sauerstoff wirkt toxisch, wenn er über einen längeren Zeitraum unter erhöhtem Druck eingeatmet wird. Er wirkt als erstes auf das zentrale Nervensystem (ZNS). Die Symptome einer Sauerstoffvergiftung sind Augenflimmern, Übelkeit, Muskelzuckungen, Epilepsiänliche Anfälle bis zur Bewusstlosigkeit. Sie können schleichend auftreten oder aber auch plötzlich. 

Aus diesem Grunde darf bei der Verwendung von Nitrox als Atemgas der maximal zulässige Sauerstoffpartialdruck und daraus resultierend die maximale Tauchtiefe nicht überschritten werden.

\begin{figure}[hbt]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/nitroxtauchen-bearbeitet.pdf}
\caption{Die Grafik zeigt den Zusammenhang der verschiedenen Grenzbereiche der einzelnen Gase im Atemgemisch und ihre Auswirkungen auf einen Taucher. Sauerstoff wirkt ab einem Partialdruck von 1.2\,bar bis 1.6\,bar toxisch (Hyperoxie) und unterhalb von 0.16 bar erhält der Körper eine Sauerstoffunterversorgung (Hypoxie). Stickstoff kann ab einem Partialdruck von 3\,bar bis 4\,bar anfangen narkotisch zu wirken. 5\,bar sollten nicht überschritten werden. Innerhalb des weissen Bereiches kann sicher getaucht werden. Tauchgänge im Grenzbereich sind mit Vorsicht zu geniessen.}
\label{fig:nitroxkurve}
\end{figure}



\subsection{Sauerstoffpartialdruck}
%----------------------------------

Die allgemeine Empfehlung für den maximal zulässigen Sauerstoffpartialdruck lautet:

\begin{itemize}
\item $p_{O_2} = \SI{1.6}{\bar}$ für gemütliche Tauchgänge im warmen Wasser ohne körperliche Anstrengung oder Stress oder für Atemgemische während eines Dekompressionsstops.
\item $p_{O_2} = \SI{1.4}{\bar}$ für anspruchsvolle Tauchgänge im kaltem Wasser oder ohne ausreichenden Wärmeschutz, mit körperlicher Anstregnung und Stress. Dies ist der für die meisten Situationen empfohlene Grenzwert.
\item $p_{O_2} = \SI{1.2}{\bar}$ für konservative Tauchgangsplanung und für in grosser Tiefe eingesetzte Gasmischungen.
\end{itemize}

\noindent
Der Sauerstoffpartialdruck berechnet sich aus dem Schweredruck aus Gleichung \eqref{eq:Schweredruck} multipliziert mit dem Sauerstoffanteil des Atemgemisches. 

\begin{align}
p_{O_2} &= f_{O_2} ( p_a + g \rho h )
\label{eq:NitroxP}
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
p_{O_2}  & \Pa          & Sauerstoffpartialdruck \\
f_{O_2}  &              & Sauerstoffanteil des Atemgases \\
p_a  & \Pa              & Atmosphärendruck  \\
\rho & \kg\per\cubic\m  & Dichte von Wasser \\
g    & \m\per\square\s  & Erdbeschleunigung (\SI{9.80665}{\m\per\square\s}) \\
h    & \m               & Tauchtiefe        \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}



\subsection{Beste Nitrox-Mischung}
%---------------------------------

Durch Auflösung der Gleichung \eqref{eq:NitroxP} nach $f_{O_2}$ erhält man die Formel für die beste Nitrox-Mischung für eine gegebene maximale Tauchtiefe $h_{max}$, auch als MOD\footnote{MOD: Maximum Operating Depth} bezeichnet. Das beste Mischverhältnis entspricht dem Verhältnis vom maximal tolerierbaren Sauerstoffpartialdruck $p_{O_2}$ zum maximal unter Wasser auftretenden Druck $p_{max}$, sprich der grössten Tauchtiefe.

\begin{align}
f_{O_2} = \frac{p_{O_2}}{p_{max}} = \frac{p_{O_2}}{p_a + g \, \rho \, h_{max}}
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
p_{O_2}  & \Pa          & erlaubter Sauerstoffpartialdruck \\
p_{max}  & \Pa          & Umgebungsdruck auf maximaler Tauchtiefe \\
f_{O_2}  &              & Sauerstoffanteil des Atemgases \\
p_a  & \Pa              & Atmosphärendruck  \\
\rho & \kg\per\cubic\m  & Dichte von Wasser \\
g    & \m\per\square\s  & Erdbeschleunigung (\SI{9.80665}{\m\per\square\s}) \\
h_{max} & \m            & maximale Tauchtiefe (MOD)       \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}


\subsection{Maximale Tauchtiefe}
%-------------------------------

Löst man die Gleichung \eqref{eq:NitroxP} nach dem maximalen Umgebungsdruck $p_{max}$, bzw. der maximalen Tauchtiefe $h_{max}$ auf, so erhält man die Formel zur Berechnung der maximalen Tauchtiefe (MOD) für ein bestimmtes Nitrox-Gemisch:

\begin{align}
p_{max} &= \frac{p_{O_2}}{f_{O_2}} \\
h_{max} &= \frac{1}{g \, \rho} \Bigg( \frac{p_{O_2}}{f_{O_2}} -p_a \Bigg)
\end{align}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ >{$}c<{$} s l}
\toprule
\text{Symbol} & Einheit & Bezeichnung  \\
\midrule
p_{O_2} & \Pa              & erlaubter Sauerstoffpartialdruck \\
f_{O_2} &                  & Sauerstoffanteil des Atemgases \\
p_a     & \Pa              & Atmosphärendruck  \\
\rho    & \kg\per\cubic\m  & Dichte von Wasser \\
g       & \m\per\square\s  & Erdbeschleunigung (\SI{9.80665}{\m\per\square\s}) \\
h_{max} & \m               & maximale Tauchtiefe (MOD)       \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\clearpage
\begin{example}
Welches ist die Maximaltiefe, welches mit einem EAN 32 Nitroxgemisch und einem maximal zulässigen Sauerstoffpartialdruck von \SI{1.4}{\bar} (\SI{140000}{\Pa}) getaucht werden darf? Einmal für Meereshöhe (Atmosphärendruck $p_a$ = \SI{101325}{\Pa}) und Salzwasser ($\rho$ = \SI{1030}{\kg\per\cubic\metre}) gerechnet: 

\begin{align*}
h_{max} &= \frac{1}{g \, \rho} \Bigg( \frac{p_{O_2}}{f_{O_2}} -p_a \Bigg) \\
        &= \frac{1}{\SI{9.80665}{\m\per\square\s} \times \SI{1030}{\kg\per\cubic\metre}}
           \times \Bigg( \frac{\SI{140000}{\Pa}}{0.32} - \SI{101325}{\Pa} \Bigg) \\        
        &\approx \SI{33.2}{\metre}
\end{align*}

Und einmal für einen Bergsee auf 2500 m über Meeresniveau gerechnet ($p_a$ = \SI{73510}{\Pa}, $\rho$ = \SI{1000}{\kg\per\cubic\metre}):

\begin{align*}
h_{max} &= \frac{1}{\SI{9.80665}{\m\per\square\s} \times \SI{1000}{\kg\per\cubic\metre}}
           \times \Bigg( \frac{\SI{140000}{\Pa}}{0.32} - \SI{73510}{\Pa} \Bigg) \\   
        &\approx \SI{37.1}{\metre} 
\end{align*}

Der maximale Sauerstoffpartialdruck wird in einem Bergsee in einer grösseren Tiefe erreicht. Dies gilt auch für alle anderen Drücke, weshalb in Bergseen Dekompressionsstufen entsprechend früher beginnen müssen.
\end{example}



\clearpage
\subsection{ZNS Sauerstoffsättigung}
%-----------------------------------

Massgebend für eine Sauerstoffvergiftung ist nicht nur der Sauerstoffpartialdruck, sondern auch die Zeitdauer, während der Körper dem Überangebot von Sauerstoff ausgesetzt ist. Dieses wirkt sich als erstes auf das zentrale Nervensystem (ZNS bzw. CNS\footnote{CNS: Central Nervous System}). Eine physikalisch oder mathematische Formel, welche die Sättigung beschreibt, gibt es nicht, sondern nur empirisch ermittelte Werte, welche von der NOAA\footnote{NOAA: National Oceanic and Atmospheric Administration} als Tabelle publiziert worden sind und als Richtlinien gelten.

In Abbildung \ref{fig:noaa-cns} ist die ZNS O$_2$-Sättigungsrate in Abhängigkeit des O$_2$-Partialdruckes aus Tabelle \ref{tab:noaa-cns1} dargestellt. Möchte man den während eines Tauchganges aufgesammelte ZNS O$_2$-Sättigung berechnen, so muss die Tauchzeit in Minuten mit dem entsprechenden ZNS Wert für den O$_2$-Partialdruck multipliziert werden.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/noaa-cns-o2.pdf}
\caption{Graphische Darstellung der NOAA Sauerstofftoxizität ZNS Tabelle mit logarithmsich dargesteller y-Achse mit der minütlichen ZNS O$_2$ Sättigungsrate. Man erkennt schön, dass bis zu einem Sauerstoffpartialdruck von etwa 1.5 bar die Sättigungsrate relativ konstant ist und bei höheren Drücken rapide ansteigt.}
\label{fig:noaa-cns}
\end{figure}




\clearpage
\section{Tabellen}
%=================

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{lSSS}
\toprule
       & {Pa}     & {bar}     & {psi} \\
\midrule
1 Pa   & 1        & 1e-5      & 1.4504e-4\\
1 bar  & 1e5      & 1         & 1.4504e1 \\
1 psi  & 6.8948e3 & 6.8948e-2 & 1 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Umrechungstabelle für die verschiedenen heute gebräuchlichen Druckeinheiten}
\label{tab:Druckeinheiten}
\end{table}



\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{SSSS}
\toprule
{Höhe} & \multicolumn{3}{c}{Normaldruck} \\
{m}    & {hPa} & {bar} & {\%} \\
\midrule
   0 & 1013.25 & 1.01325 & 100  \\
 100 & 1000.30 & 1.00030 &  98.7 \\
 200 &  987.60 & 0.98760 & 97.5 \\
 300 &  975.00 & 0.97500 & 96.2 \\
 400 &  962.50 & 0.96250 & 95.0 \\
 500 &  950.30 & 0.95030 & 93.8 \\
 600 &  938.10 & 0.93810 & 92.6 \\
 700 &  926.20 & 0.92620 & 91.4 \\
 800 &  914.40 & 0.91440 & 90.2 \\
 900 &  902.70 & 0.90270 & 89.1 \\
1000 &  891.20 & 0.89120 & 88.0 \\
1500 &  835.80 & 0.83580 & 82.5 \\
2000 &  783.80 & 0.78380 & 77.4 \\
2500 &  735.10 & 0.73510 & 72.5 \\
3000 &  689.40 & 0.68940 & 68.0 \\
3500 &  646.50 & 0.64650 & 63.8 \\
4000 &  606.30 & 0.60630 & 59.8 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Abhängigkeit des normierten Luftdrucks von der Höhe über Meer und relativ zum Luftdruck auf Meereshöhe.}
\label{tab:Luftdruck}
\end{table}



\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{lSSS}
\toprule
{Komponente} & {Volumenanteil} & \multicolumn{2}{c}{Partialdruck} \\
{}           & {\%}          & {hPa} & {bar} \\
\midrule
Luft              & 100.000 & 1013.25 & 1.01325 \\
Stickstoff        &  78.090 &  791.25 & 0.79125 \\
Sauerstoff        &  20.950 &  212.28 & 0.21228 \\
Argon             &   0.927 &    9.39 & 0.00939 \\
Kohlenstoffdioxid &   0.039 &    0.39 & 0.00039 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Übersicht der Partialdrücke von trockener Luft in Meereshöhe}
\label{tab:Partialdrücke}
\end{table}



\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{SSS||SSS}
\toprule
{ppO$_2$} & {ZNS O$_2$} & {max. Tauchzeit} & {ppO$_2$} & {ZNS O$_2$} & {max. Tauchzeit} \\
{bar}     & {\%/min}    & {min}              & {bar}   & {\%/min}    & {min}  \\
\midrule
0.50	&   0.00        &	{$\infty$}       &  1.22	&	  0.48		&    208 \\
0.60	&	0.14	        &    714             &  1.24	&	  0.51		&    196 \\
0.64	&	0.15			&    667             &  1.26	&	  0.52		&    192 \\
0.66	&	0.16			&    625             &  1.28	&	  0.54		&    185 \\
0.68	&	0.17			&    588             &  1.30	&	  0.56		&    179 \\
0.70	&	0.18			&    556             &  1.32	&	  0.57		&    175 \\
0.74	&	0.19			&    526             &  1.34	&	  0.60		&    167 \\
0.76	&	0.20			&    500             &  1.36	&	  0.62		&    161 \\
0.78	&	0.21			&    476             &  1.38	&	  0.63		&    159 \\
0.80	&	0.22			&    455             &  1.40	&	  0.65		&    154 \\
0.82	&	0.23			&    435             &  1.42	&	  0.68		&    147 \\
0.84	&	0.24			&    417             &  1.44	&	  0.71		&    141 \\
0.86	&	0.25			&    400             &  1.46	&	  0.74		&    135 \\
0.88	&	0.26			&    385             &  1.48	&	  0.78		&    128 \\
0.90	&	0.28			&    357             &  1.50	&	  0.83		&    120 \\
0.92	&	0.29			&    345             &  1.52	&	  0.93		&    108 \\
0.94	&	0.30			&    333             &  1.54	&	  1.04		&     96 \\
0.96	&	0.31			&    323             &  1.56	&	  1.19		&     84 \\
0.98	&	0.32			&    313             &  1.58	&	  1.47		&     68 \\
1.00	&	0.33			&    303             &  1.60	&	  2.22		&     45 \\
1.02	&	0.35			&    286             &  1.62	&	  5.00		&     20 \\
1.04	&	0.36			&    278             &  1.65	&	  6.25		&     16 \\
1.06	&	0.38			&    263             &  1.67	&	  7.69	    &     13 \\
1.08	&	0.40			&    250             &  1.70	&	 10.00	    &	  10 \\
1.10	&	0.42			&    238             &  1.72	&	 12.50	    &	   8 \\
1.12	&	0.43			&    233             &  1.74	&	 20.00	    &	   5 \\
1.14	&	0.43			&    233             &  1.77	&	 25.00	    &	   4 \\
1.16	&	0.44			&    227             &  1.79	&	 31.25	    &	   3 \\
1.18	&	0.46			&    217             &  1.80	&	 50.00	    &	   2 \\
1.20	&	0.47			&    213             &  1.82	&	100.00	    &	   1 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Sauerstofftoxizität (O$_2$-Toxicalscan) -- ZNS Tabelle nach NOAA}
\label{tab:noaa-cns1}
\end{table}



\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{SS}
\toprule
{Oberflächenintervall} & {Faktor}  \\
{h}                    & {}        \\
\midrule
0.5                    & 0.8       \\
1.0                    & 0.63      \\
1.5                    & 0.5       \\
2.0                    & 0.4       \\
2.5                    & 0.31      \\
3.0                    & 0.25      \\
3.5                    & 0.2       \\
4.0                    & 0.16      \\
5.0                    & 0.1       \\
6.0                    & 0.06      \\
9.0                    & 0         \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Reduktionsfaktoren der ZNS Sauerstoffsättigung aufgrund des Oberflächenintervalls (Halbwertszeit 1.5 Stunden)}
\label{tab:noaa-cns2}
\end{table}


\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{lSSS}
\toprule
Gas & {Dichte} & {Kohäsionsdruck $a$} & {Kovolumen $b$} \\
    & \si{\kg\per\cubic\metre} 
    & \si{\Pa\,\metre^6\per\mol^2}
    & \si{\metre^3\per\mol} \\
\midrule
Argon        & 1.784  & 136.3e-3  & 3.22e-5 \\
Helium       & 0,1785 &  3.45e-3 & 2.37e-5 \\
Kohlendioxid & 1.98   & 363.7e-3  & 4.27e-5 \\
Sauerstoff   & 1.429  & 137.8e-3  & 3.18e-5 \\
Stickstoff   & 1.250  & 140.8e-3  & 3.91e-5 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Dichte bei 0 °C und 1013 hPa, sowie van der Waals Konstanten verschiedener Gase}
\label{tab:gase}
\end{table}

\end{document}
